Szögfüggvények a derékszögű háromszögekben

Csináljunk még egy csomó további példát, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy ezt a szögfüggvény dolgot elengedhetjük. Készítsünk magunknak derékszögű háromszögeket! És itt nagyon világos szeretnék lenni: az eddigi definícióm szerint ez csak derékszögű háromszögekre igaz. Vagyis ha olyan szögek szögfüggvényeit próbáljuk meghatározni, amelyek nem egy derékszögű háromszög szögei, akkor látni fogjuk, hogy derékszögű háromszögeket kell majd létrehoznunk. De egyelőre koncentráljunk a derékszögűekre! Tegyük fel, hogy van egy háromszögünk, ahol ez az alsó hossz mondjuk 7, és ennek az oldalnak a hossza mondjuk 4. Határozzuk meg, mekkora lesz az átfogó! Tudjuk, hogy – nevezzük az átfogót „h”-nak – h a négyzeten egyenlő 7 a négyzeten plusz 4 a négyzeten. Tudjuk a Pitagorasz-tételből, hogy az átfogó négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. h a négyzeten egyenlő 7 a négyzeten plusz 4 a négyzeten, vagyis ez 49 plusz 16-tal lesz egyenlő. 49 + 16 49 meg 10 az 59, meg 6 az 65. 65. A h a négyzeten tehát – ez egy másik sárga – h a négyzeten egyenlő 65. Jól csináltam? 49 plusz 10 az 59, plusz még 6 az 65. Vagy azt is mondhatjuk, hogy h egyenlő lesz - ha mindkét oldal négyzetgyökét vesszük - 65 négyzetgyökével. És ezt most egyáltalán nem tudjuk egyszerűsíteni. Ez 13 szor 5, egyik sem négyzetszám és mindkettő prímszám, így nem egyszerűsíthetőek tovább. Vagyis ez egyenlő négyzetgyök 65. Most határozzuk meg ennek a felső szögnek a szögfüggvényeit! Nevezzük ezt a felső szöget thétának. Nos, valahányszor ezt csinálod, mindig felírod – legalábbis én így szoktam – „szisza-koma-taszem” Ezek halovány emlékek a trigonometriatanáromtól. De az is lehet, hogy olvastam valahol valami indiai hercegnőről, akit így hívtak, mindenesetre ez egy nagyon hasznos emlékeztető. Szóval alkalmazhatjuk a „szisza-koma-taszem”-et. Mondjuk meg akarjuk határozni a szögünk koszinuszát. Azt mondjuk „szisza-koma-taszem”. A „koma” adja meg, mi a teendő a koszinusszal. A koszinusz a szög melletti befogó per átfogó. Koszinusz egyenlő melletti per átfogó. Nézzük itt fent a thétát, melyik befogó a melletti? Nos, azt tudjuk, melyik az átfogó, ez itt, vagyis az nem lehet az az oldal. Az egyetlen oldal, ami a szög melletti, de nem átfogó, az ez a 4. Vagyis a melletti oldal pontosan a szög melletti oldal, ez az egyik oldal, amely a szöget közrefogja. Ez tehát 4, osztva az átfogóval. Az átfogóról tudjuk, hogy az négyzetgyök 65, azaz 4 per négyzetgyök 65. Időnként racionalizálni (gyökteleníteni) akarjuk a nevezőt. Az emberek nem szeretik, ha a nevezőben irracionális szám van, mint a négyzetgyök 65, így ha át akarod írni, hogy a nevezőben ne legyen irracionális szám, megszorozhatod a számlálót és a nevezőt is négyzetgyök 65-tel. Ez nyilván nem fogja megváltoztatni az értéket, hiszen egy valami per valamivel szorzunk, vagyis a számot 1-gyel szorozzuk. Ez nem változtatja meg a számot, de legalább megszabadulunk az irracionális számtól a nevezőben. Így a számláló négyszer négyzetgyök 65, és a nevező négyzetgyök 65 szorozva négyzetgyök 65, azaz 65. Nem szabadultunk meg az irracionális számtól, de az most legalább a számlálóban van. Most határozzuk meg a többi szögfüggvényt, vagy legalább az alapvető szögfüggvényeket. Később majd megtanuljuk, hogy valójában rengeteg van belőlük, de valamennyien ezekből származtathatóak. Gondolkodjunk tehát, mi a théta szinusza. Megint csak forduljunk a „szisza-koma-taszem”-hez. A „szisza” mondja meg, mi a teendő szinusz esetén. A szinusz a szemközti per átfogó. Melyik oldal van ezzel a szöggel szemben? Szembe megyünk, amerre nyílik a szög, a szemközti oldal 7. Ez itt a szemközti oldal, és ez az átfogó. Szemközti per átfogó. Az átfogó négyzetgyök 65. És most is, ha gyökteleníteni akarjuk, megszorozhatjuk négyzetgyök 65 per négyzetgyök 65-tel, és a számláló 7-szer négyzetgyök 65 lesz, míg a nevező megint csak 65. Most csináljuk a tangenst! Ha megkérdezem tőled a théta szög tangensét, megint menj vissza a „szisza-koma-taszem”-hez. A „taszem” írja elő, mit kell csinálnunk a tangenshez. Azt mondja, hogy a tangens egyenlő a szemközti per mellettivel. Mi ennek a szögnek a szemköztije? Egyszer már kitaláltuk, ez 7, szemközt van a 7-tel. Vagyis 7 per melyik oldal a melletti? Ez a 4 a melletti. Tehát a szög melletti oldal 4, azaz hét per 4, és ezzel meg is vagyunk. Meghatároztuk a théta szögfüggvényeit. Most nézzünk egy másikat! Ezt most egy kicsit konkrétabbra csinálom, mert mostanáig azt mondtuk, hogy „mi is az x tangense, a théta szög tangense”, legyünk kicsit konkrétabbak. Mondjuk rajzoljunk egy másik derékszögű háromszöget, ez egy másik derékszögű háromszög. Mindezek, amikkel foglalkozunk, derékszögű háromszögek. Legyen az átfogó hossza 4, ennek a másik oldalnak a hossza pedig legyen 2, és ez a hosszúság legyen 2-szer négyzetgyök 3. Ellenőrizhetjük, hogy ez működik-e. Ha ezt az oldalt négyzetre emeljük –hadd írjam le – kétszer gyök 3 a négyzeten plusz 2 a négyzeten, az egyenlő mennyivel? Négyszer 3, négyszer 3 plusz 4, ez egyenlő 12 plusz 4, azaz 16-tal. És a 16 valóban 4 a négyzeten, vagyis valóban egyenlő 4 a négyzetennel, teljesíti a Pitagorasz-tételt. És ha emlékszel a korábbiakból a 30 60 90 háromszögekre, amelyekről a geometriában tanulhattál, talán felismered, hogy ez egy 30 60 90 háromszög. Ez itt a derékszög, rajzolhattam volna innen kiindulva, hogy mutassam, ez egy derékszögű háromszög. Ez a szög itt a 30 fokos szögünk, és ez a szög itt fent a 60 fokos szög, és ez azért 30 60 90, mert a 30 fokkal szemközti oldal az átfogó fele, és a 60 fokkal szemközti oldal négyzetgyök 3 szorozva a másik oldallal, ami nem az átfogó. Ez most nem a 30 60 90 háromszögek átismétlésének helye, noha épp azt csináltam. Határozzuk viszont meg ezeknek a szögeknek a szögfüggvényeit! Tehát ha megkérdezem, vagy valaki megkérdezi, mennyi a 30 fok szinusza, ne feledd, hogy az, hogy 30 fok ennek a háromszögnek az egyik szöge, az igaz, valahányszor egy 30 fokos szöged van egy derékszögű háromszögben. Lesz majd később egy általánosabb definíciónk, de ha azt mondom, hogy 30 fok szinusza, nézd, ez a szög itt 30 fok, tehát használhatom ezt a derékszögű háromszöget, és csak emlékeznünk kell a „szisza-koma-taszem”-re. Újra leírjuk, szisza-koma-taszem. A szisza megadja nekünk, mi a teendő a szinusszal, szinusz a szemközti per átfogó, 30 fok szinusza a szemközti oldal, amelyik 2, osztva az átfogóval, az átfogó itt 4. Ez kettő negyed, ami ugyanaz, mint egyketted. 30 fok szinusza, ahogy látni fogod, mindig 1/2. Na és mennyi a koszinusz? Mennyi a 30 fok koszinusza? Megint csak menjünk vissza a „szisza-koma-taszem”-hez. A koma megadja nekünk, mi a teendő a koszinusszal, Koszinusz a melletti per átfogó, tehát ha a 30 fokos szögre nézünk, ez a melletti. Ez itt a szomszédos, közvetlenül mellette, ami nem az átfogó, melletti per átfogó, vagyis kétszer gyök 3, melletti per átfogó, vagyis per 4, vagy ha egyszerűsítjük, a számlálót és a nevezőt is elosztjuk kettővel, négyzetgyök 3 osztva 2-vel. Végül csináljuk a tangenst! 30 fok tangense, visszamegyünk a „szisza-koma-taszem”-hez. Taszem megadja, mi a teendő a tangenssel. Szemközti per melletti. Nézzük a 30 fokos szöget, mert ez érdekel minket, tangens 30. A szemközti 2, és a melletti kétszer négyzetgyök 3. Közvetlenül mellette, szomszédos vele, 2-szer gyök 3. Egyenlő... a kettesek kiesnek, 1 per gyök 3, avagy megszorozhatjuk a számlálót és a nevezőt gyök 3-mal. Szóval négyzetgyök 3 per négyzetgyök 3, és ez egyenlő a számlálóban négyzetgyök 3, és a nevezőben 3. Tehát ahogy gyöktelenítettünk, négyzetgyök 3 per 3. Rendben van. És most használjuk ugyanezt a háromszöget a 60 fok szögfüggvényeinek meghatározásához, mivel ezt már lerajzoltuk. Mennyi a 60 fok szinusza? Remélhetőleg már rájöttél. A szinusz szemközti per átfogó, szisza a „szisza-koma-taszem”-ból. A 60 fokos szöggel melyik oldal van szemközt? Ez a kétszer gyök 3 felé nyílik, azaz a szemközti kétszer gyök 3, és a 60 fokos szög mell...-bocs szemközti per átfogó, nem akarlak megzavarni. Szóval szemközti per átfogó, kétszer gyök 3 per 4, 4 az átfogó, ez egyenlő, egyszerűsítve négyzetgyök 3 per 2. Mennyi a 60 fok koszinusza? Koszinusz 60 fok. A „szisza-koma-taszem” alapján a koszinusz melletti per átfogó. A melletti a 2 hosszúságú oldal, közvetlenül a 60 fokos szög mellett, vagyis 2 per átfogó, vagyis 4, ami egyenlő 1/2. És végül mennyi a tangens, mennyi a 60 fok tangense? Nos, „szisza-koma-taszem”. Tangens szemközti per melletti. A 60 fokkal szemközti a kétszer gyök 3, és a melletti az kettő, a 60 fok melletti oldal hossza 2. Szemközti per melletti, kétszer gyök 3 per kettő, ami pontosan négyzetgyök 3. És csak azt akartam, hogy lássuk, hogyan viszonyulnak ezek egymáshoz: a 30 fok szinusza megegyezik a 60 fok koszinuszával, a 30 fok koszinusza megegyezik a 60 fok szinuszával, és ezek az alakok egymás reciprokai. És ha egy kicsit gondolkodsz ezen a háromszögön, rá fogsz jönni, miért. Folytatni fogjuk ezt, és a következő videókban még egy csomó gyakorlatot mutatunk.