Arány – szöveges feladat: sütik

A zabpelyhes sütik receptje 2 bögre lisztet ír 3 bögre zabpehelyhez. Mennyi liszt szükséges egy nagy adag sütihez, amihez 9 bögre zabpelyhet használunk? Gondoljuk át, hogy mi is a feladat! Arról van szó, hogy 2 bögre liszt, 2 bögre liszt kell 3 bögre zabpehelyhez... 3 bögre zabpehelyhez. A kérdés pedig az, hogy mennyi liszt szükséges egy nagy adag sütihez, amihez 9 bögre zabpelyhet használunk? Tehát az a helyzet, hogy 9 bögre zabpelyhet használunk – hadd írjam le így –, 9 bögre zabpehely. Mutatok néhány különböző módszert, ahogy gondolkodhatsz. Bármelyiket használhatod, amelyik beválik neked. Az egyik lehetőség, hogy elgondolkodunk és azt mondjuk: – Nézzük csak, tudjuk, hogy 3 bögre zabpelyhez 2 bögre lisztet kell használnunk, de nem tudjuk, hogy, ha 9 bögre zabpelyhünk van, akkor hány bögre liszt kell hozzá. Ez a kérdés. Ha a 3 bögre zabpehelyből indulunk ki, és 9 bögre zabpehely lesz belőle, akkor hányszor annyi zabpelyhet használunk? 3-szor annyi zabpelyhet, igaz? Szorzunk 3-mal. 3 bögre zabpehely és 9 bögre zabpehely, 3-szor annyi zabpelyhet használunk. Ha a lisztet is ugyanilyen arányban szeretnénk hozzáadni, akkor 3-szor annyi lisztet kell használnunk, így a liszt mennyiségét is meg kell szoroznunk 3-mal. Megszorozzuk a liszt mennyiségét 3-mal, tehát 6 bögre lisztet kell használnunk. Hozzá kell adnunk 6 bögre – ne foglalkozz azzal a kérdőjellel –, 6 bögre lisztet. Egy másik módszer, ami választ ad a kérdésre, arra, hogy mennyi lisztre van szükségünk egy nagy adag sütihez, ami 9 bögre zabpehellyel készül. A másik módszer az, hogy arányokkal oldod meg. Mondhatod, hogy 2 bögre liszt per 3 bögre zabpehely egyenlő a kérdőjel – kérdőjel helyett egy ismeretlent írok ide, mondjuk, hogy egyenlő... tulajdonképpen hadd írjak ide kérdőjelet, csak hogy igazán megértsd –, ez egyenlő a kérdőjelszer bögre liszt per 9 bögre zabpehely. Igazából tetszik nekem, ahogy először megoldottuk, mert tényleg csak a józan eszünket használtuk: ha megháromszorozzuk a zabpelyhet, akkor meg kell háromszoroznunk a lisztet is, hogy ugyanolyan arányokkal készítsük el a receptet. A másik módszer – hogy felírunk egy ehhez hasonló egyenletet – valójában egy kis algebra. Vannak, akik keresztbe szorzásnak hívják, de a keresztbe szorzáshoz szintén egy kis algebrát használunk. Megmutatom, miért tényleg ugyanazok. A keresztbe szorzásnál – bármikor, amikor fel van írva így egy aránypár – átlósan szorzunk. Tehát amikor keresztbe szorzást alkalmazunk, azt mondjuk, hogy 2-szer 9-nek egyenlőnek kell lennie ?-szer 3-mal, egyenlőnek kell lennie – bármi is legyen ez a kérdőjel – a lisztes bögrék száma szorozva 3-mal. Vagyis 18-at kaptunk, 18 egyenlő a kérdőjel értéke szorozva 3-mal. A lisztes bögrék számát tehát meg kell szoroznunk 3-mal ahhoz, hogy egyenlő legyen 18-cal. Mi az, ami 3-mal szorozva 18 lesz? Ezt talán fejben is ki tudod számolni, ez a 6. Vagy eloszthatod mindkét oldalt 3-mal, és 6-ot kapsz. Tehát azt kaptuk, hogy a kérdőjelnek a négyzetben egyenlőnek kell lennie 6 bögre liszttel. Ugyanarra a megoldásra jutottunk, mint józan ésszel. Most felmerülhet benned a kérdés, hogy ennek a keresztbe szorzás egyáltalán nem magától értetődő, miért működik ez? Ha felírok valamit, mint ahogy ezt a hányadost felírtam, miért lesz igaz, hogy ha veszem ezt a nevezőt, és megszorzom a másik oldal számlálójával, akkor ennek egyenlőnek kell lennie az itteni számláló és a másik oldal nevezőjének szorzatával? Ez egyenesen az algebrából jön. Ahhoz, hogy megmutassam, ezt a részt átírom x-re, csak hogy egyszerűsítsem a leírást egy picit. Tehát 2/3 egyenlő – a kérdőjel helyett x-et írok – x/9-del. Az algebrában mindig azt mondjuk, hogy ez a mennyiség itt egyenlő ezzel a mennyiséggel, tehát ha valamit csinálsz a bal oldalon lévővel, és azt akarod, hogy továbbra is egyenlők legyenek, ahhoz hogy ami jobb oldalon van, továbbra is egyenlő legyen, ugyanazt meg kell csinálnod azzal is. Most egyszerűsíteni szeretnénk úgy, hogy a jobb oldalon csak egy x legyen. Mivel szorozzuk meg ezt, hogy csak egy x maradjon, hogy meghatározzuk x-et? Ha megszorozzuk 9-cel, a 9-esek kiejtik egymást, tehát szorozzuk meg a jobb oldalt 9-cel. Természetesen ha a jobb oldalt megszorozzuk 9-cel, akkor a bal oldalt is meg kell szoroznunk 9-cel, különben már nem lesznek többé egyenlőek. Ha egyenlőek voltak, mielőtt megszoroztuk őket 9-cel, ahhoz, hogy továbbra is egyenlőek legyenek, mindkét oldalt meg kell szoroznunk 9-cel. A jobb oldalon a 9-esek kiejtik egymást, így csak x marad, a bal oldalon 9 · 2/3 vagy 9/1 · 2/3 lesz, vagyis ez egyenlő 18/3-dal. És tudjuk, hogy 18/3 = 6. Tehát ezek mind helyes módszerek. Azt szerettem volna, hogy megértsd, hogy amit itt csinálok, az algebra, ez az, amiért valójában a keresztbe szorzás működik, de egy ilyen egyszerű feladatnál, mint ez, használhatod egyszerűen csak a józan eszed. Ha a zabpelyhes bögrék számát a 3-szorosára növeled, akkor növeld a lisztes bögrék számát is 3-szorosára.