Az egységkör

Amit megpróbáltam iderajzolni, az egy egységkör. Az a tény, hogy egységkörnek nevezem, azt jelenti, hogy a sugara 1 egység. Tehát ez a távolság a középponttól – a kör középpontját az origóba tettem –, a középpont és a körvonal bármely pontjának a távolsága 1 egység. Mik a koordinátái ennek a pontnak, ahol a kör az x tengelyt metszi? Az x koordináta 1, az y koordináta 0. Mik a koordinátái ennek itt fenn? Egyet léptünk felfelé az origóból, de nem mozogtunk balra vagy jobbra, tehát az x értéke 0, az y értéke 1. Mi a helyzet itt? Itt az x értéke -1, egy egységet balra léptünk, és nem mozdultunk fel vagy le, tehát y értéke 0. És mi a helyzet itt lent? Egyet léptünk le az origóból, de nem mozogtunk x irányban, tehát az x értéke 0 és az y értéke -1. Most pedig rajzolok egy szöget, mégpedig egy pozitív szöget. Elmondom, hogy megállapodás szerint mit nevezünk pozitív szögnek. Az a szára, ahol a szög kezdődik, mindig az x tengely pozitív irányába mutat. Úgy tekinthetsz erre, mint a kiindulási oldalra, itt kezdődik a szög. Utána felrajzoljuk a pozitív szög másik szárát, ahol végződik a szög. Az óramutató járásával ellentétes irányban fogunk haladni. Tehát a pozitív szög azt jelenti, hogy az óramutató járásával ellentétes irányban haladunk. Ez csak egy megállapodás, amely általánosan elterjedt, és én is ezt fogom használni. Ez után elképzelheted, hogy negatív szög esetén az óramutató járásával megegyező irányban haladnánk. Hadd rajzoljak egy pozitív szöget! Tehát a pozitív szög valami ilyesmi lehet. Ez a szár a szög kezdete, és az óramutató járásával ellentétes irányban felmérjük a szöget, ez pedig a szög másik szára. Ez egy pozitív théta szög. Szeretném, ha erről a pontról, a másik szögszár és az egységkör metszéspontjáról gondolkodnánk, s megmondanánk, mik az (a; b) koordinátái. A metszéspont x koordinátája 'a', y koordinátája b. Amit most csinálok, azért fontos, mert majd látni fogjuk, hogy az egységkör segítségével kiterjeszthetjük a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióit. Egy olyan derékszögű háromszöget akarok rajzolni, amelynek az egyik szöge théta. Tehát théta legyen benne egy derékszögű háromszögben. Hadd rajzoljak ide egy merőlegest! Tehát ez itt 90 fokos szög, így théta ennek a derékszögű háromszögnek az egyik szöge. Nézzük, hogy mit tudunk ennek a derékszögű háromszögnek az oldalairól! Az első kérdés, amit fel kell tennem, hogy milyen hosszú az átfogója ennek derékszögű háromszögnek, amit éppen most rajzoltam. Az átfogó éppen az egységkör sugara, az egységkör sugara 1 egység, tehát az átfogó hossza 1. Milyen hosszú itt ez a kék oldal? Ez a szöggel szemközti befogó. Ez a merőleges szakasz éppen akkora, mint a metszéspont y koordinátája. Tehát ez a merőleges b-vel egyenlő, az y koordináta b, ez oldal is egyenlő b-vel. Ugyanezzel a logikával, milyen hosszú ez a szakasz, a derékszögű háromszögnek a másik befogója? Ez a metszéspont x koordinátája. Ha levetítjük az x tengelyre, a pont x koordinátája 'a', vagyis ez a távolság 'a'. Most, hogy megvannak az oldalak, mennyi a koszinusz – hadd használjam ugyanazt a zöldet – mi a szög koszinusza 'a'-val és b-vel kifejezve, ahol ezek bármilyen számot jelenthetnek. Ahhoz, hogy ezt átgondoljuk, szükségünk lesz a szisza-koma-taszem definíciónkra. Egyelőre ezt tudjuk. Valójában éppen ezt fogjuk kiterjeszteni – a szögfüggvények szisza-koma-taszem definícióját. A koma rész segít a koszinuszban. Azt mondja, hogy a szög koszinusza a szög melletti befogó ás az átfogó hányadosa. Mi lesz ez? A szög melletti befogó, ennek a szögnek a szomszédos oldala 'a', így ennek az átfogóval való hányadosa lesz a koszinusz, Az éppen 1 egység. Tehát a théta szög koszinusza pontosan megegyezik 'a'-val. Hadd írjam le újra! Tehát a théta koszinusza éppen egyenlő 'a'-val, annak a pontnak az x koordinátájával, ahol a szög szára metszi az egységkört. Most gondolkodjunk el a théta szög szinuszán! Ezt – hadd lássam – narancssárgával fogom csinálni. Mi lesz a théta szög szinusza? Nézzük meg a szisza-koma-taszem definíciók szisza részét! Azt mondja nekünk, hogy a szinusz a szöggel szemközti befogó per az átfogó. A szemközti befogó b hosszúságú, az átfogó hossza 1, tehát a szinusz théta egyenlő b-vel. Érdekes dolog – ennek a pontnak a koordinátái, ahol a másik szögszár metszi az egységkört (a; b) –, ezt úgy is tekinthetjük, hogy 'a' ugyanaz, mint a théta szög koszinusza, és b ugyanaz, mint a théta szög szinusza. Ez érdekes, csak a szisza-koma-teszem definíciót használtuk. Kiterjeszthetjük-e a sziasza-koma-taszem definíciót valahogyan? Mert a szisza-koma-taszem definícióval van egy probléma. Akkor működik, ha a szögünk nagyobb, mint 0 fok, és 90 foknál kisebb. Ezt mindig ki tudjuk egészíteni derékszögű háromszögre. De a szisza-koma-taszem nem működik, ha a szög nulla, negatív, 90° vagy még nagyobb, a derékszögű háromszögnek nem lehet két 90 fokos szöge, a definíció már nem működik. Hadd világítsam ezt meg! Biztos, hogy ez egy derékszögű háromszög, a szög elég nagy. Tudok még nagyobb szöget rajzolni és még mindig kiegészíthető derékszögű háromszöggé. Lehet még nagyobb, de nem érheti el a 90 fokot. 90 foknál nem lehet derékszögű háromszöggé kiegészíteni. Úgy tűnik, hogy már nem működik a definíció. Mi történik abban az esetben, ha 90 fok fölé megyünk? Tehát lássuk, tudjuk-e használni azt, amit itt mondtunk. Fogalmazzuk meg a szögfüggvények új definícióját, ami valójában a szisza-koma-taszem kiterjesztése, és összhangban van vele. Ahelyett, hogy a koszinuszt úgy definiáljuk, hogy egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó per átfogó, a szinusz a szemközti befogó per átfogó, a tangens a szemközti befogó per a melletti befogó, miért nem értelmezzük bármely szög szögfüggvényeit az egységkörben, az előző megállapításunkat felhasználva? Mondjuk azt, hogy a szögünk koszinusza egyenlő annak a pontnak az x koordinátájával, ahol a szög szára az egységkört metszi. És miért nem definiáljuk úgy a théta szinuszát úgy, hogy az egyenlő annak a pontnak az y koordinátájával, ahol a szög szára metszi az egységkört? Tehát lényegében bármilyen szög esetén ez a pont fogja meghatározni a théta szinuszát és koszinuszát. S mi lenne a logikus definíciója a tangens thétának? A tangens théta – még a szisza-koma-taszem definícióval is – meghatározható lenne, mint a szinusz théta per koszinusz théta, ami a mi esetünkben a metszéspont y koordinátája per az x koordináta. A következő néhány videóban megmutatok néhány példát, ahol az egységkört használjuk fel néhány szögfüggvény meghatározásához.