Addíciós tételek alkalmazása: kifejezések átalakítása

cos 2θ = C, és θ értéke 0 és π között van. Fejezd ki sin θ-t a C segítségével! Biztatnálak, hogy állítsd meg a videót, és próbáld megoldani először magadtól, mielőtt megmutatom, hogyan kell! Feltételezem, hogy nekifutottál egyedül, úgyhogy kezdhetjük is együtt. Átváltok a jegyzet nézetre, ahova már átmásoltam a feladatot. Kezdjünk is neki! Azt mondják, hogy cos 2θ = C, leírhatom ugyanezt így is: C = cos 2θ. Az addíciós tételeket ismerve tudjuk például, hogy cos(α+β) = cosα・cosβ - sinα・sinβ. Miért hasznos ez most nekünk? Mivel a 2・θ ugyanaz, mint θ + θ, így átalakíthatom a kifejezést szinuszt és koszinuszt használva, utána pedig valahogyan a koszinuszt is kifejezem majd szinusszal, végül pedig ki tudom fejezni a szög szinuszát. Fogjunk neki! Szóval átírhatom a cos 2θ-t arra, hogy cos(θ+θ), mert a kettő ugyanaz. Itt pedig már tudom használni a koszinuszra vonatkozó addíciós tételt. Ez itt egyenlő lesz cos θ・cos θ - sin θ・sin θ-val. Ez itt nem más, mint cos²θ, és ezt követi a mínusz sin²θ. Tehát eddig sikerült kifejeznünk C-t a cos²θ és sin²θ segítségével, de valahogy ki kell fejeznünk mindent sin θ-val, hogy végül arra tudjunk majd rendezni. Próbáljuk meg a koszinuszt kifejezni szinusszal! Azt a pitagoraszi azonosságot már ismerjük, hogy cos²Θ + sin²Θ = 1. Ha itt mindkét oldalból kivonunk sin²Θ-t, azt kapjuk, hogy cos²Θ = 1 - sin²Θ. Így ezt itt átírhatjuk úgy, hogy 1 - sin²Θ - sin²Θ. Ez az egész pedig egyenlő C-vel. Összevonva C = 1 - 2sin²Θ. Ebből már ki tudjuk fejezni a sin Θ-t. Megszorzom mindkét oldalt mínusz 1-gyel azért, hogy átalakíthassam a tagok sorrendjét. Így ebből az lesz, hogy -C = 2sin²Θ - 1, tehát itt csak megszoroztunk mindent mínusz eggyel. Ezután hozzáadok mindkét oldalhoz 1-et ‒ itt folytatom inkább fent ‒, tehát ha mindkét oldalhoz hozzáadok 1-et, azt kapom, hogy 1 - C = 2sin²Θ. Ezután elosztom mindkét oldalt 2-vel, és azt kapom, hogy (1-C)/2 = sin²Θ. Ebből pedig az lesz, hogy sin Θ = ± √((1-C)/2) Itt felmerül a kérdés, hogy mindkét megoldás jó, vagy csak az egyik? Ismét biztatnálak, hogy állítsd le a videót, ha még nem jöttél rá, és nézd meg a feladatban megadott információt, hátha az segít eldönteni, hogy a pozitív vagy a negatív megoldás a jó! Azt megadták, hogy a θ értéke 0 és π között van. Felvázolom az egységsugarú kör 0 és π közötti részét. Ez a szög itt a 0 radián, ez pedig a π a túlsó oldalon. Ebből következik, hogy a forgásszög forgó szögszára csak az I. vagy a II. síknegyedben lehet. Tehát a szög lehet ez, vagy ez, ez viszont nem lehet. Azt is tudjuk, hogy egy szög szinusza az y koordináta, és az I. és II. síknegyedben az y koordináta nem negatív. Emiatt csak a pozitív gyököt fogjuk elfogadni. Így sin θ = √((1-C)/2). Menjünk vissza a feladathoz, és ellenőrizzük a megoldásunkat! Szóval, sinθ = √((1-C)/2), és ez a helyes megoldás.