Szögek összegének koszinuszára vonatkozó azonosság alkalmazása

Itt látjuk az ABC háromszöget, ami derékszögűnek tűnik, ezt a Pitagorasz-tétellel igazolhatjuk is. 8²=64, ehhez adunk 15²-et, ami 225, 64+225=289, ami egyenlő 17²-tel. Ez eleget tesz a Pitagorasz-tételnek. Tehát tudjuk, hogy ez itt egy derékszögű háromszög. Azt kérdezik tőlünk, hogy mivel egyenlő cos(ABC∠+60º), ABC∠ pedig ez a szög itt. Ilyen formában nem tudom könnyen kiszámolni, de van néhány trigonometrikus azonosság a tarsolyunkban, amivel olyan alakba tudnánk ezt írni, amiben talán ki tudnánk számolni. Nevezetesen tudjuk, hogy cos(a+b)=cos a・cos b - sin a・sin b. Ezt használhatjuk a cos(ABC∠+60º) kiszámolásához is. Ez azzal lesz egyenlő ‒ hadd írjam le először csak a behelyettesítést ‒, hogy cos(ABC∠)・cos60º - sin(ABC∠)・sin60º. Tehát ide jön az ABC∠, és ide pedig a 60º. Számoljuk ki ezeket sorban! Mivel egyenlő cos(ABC∠)? (Itt folytatom.) cos(ABC∠)... A „Szisza Koma Taszem” emlékeztetőt hívhatnánk segítségül, amit le is írok ide. „Szisza Koma Taszem”. A koszinuszt úgy definiáltuk, hogy a szög MELLETTI befogó per az átfogó. Tehát cos(ABC∠)=15/17, ez itt akkor 15/17 lesz. Mivel egyenlő a cos 60º? Ehhez idézzük fel a 30-60-90-es háromszögekről szerzett ismereteinket! Azaz, ha van egy ilyen háromszögem‒ igyekszem jól felvázolni egy 30-60-90-es háromszöget, erre az oldalra rakom a 60º-os szöget, és ide a 30º-osat ‒, sokszor láttuk ezt, és tudjuk, hogy ha az átfogó hossza 1, akkor a 30º-os szöggel szembeni oldal ½, a 60º-os szöggel szembeni oldal pedig √3/2. A cos 60º, ezt az oldalt nézve ‒ kiemelem olyan színnel, amilyet még nem használtam ‒, tehát a cos 60º-ot keresem: a cos 60º= a szög MELLETTI befogó/ az átfogó, azaz (1/2)/1, ami 1/2. Nézzük most a szinuszokat! Nézzük meg a sin(ABC∠)-et, ami ez a rész itt! A háromszögünk itt van, a szinusz a „SZEMBENI befogó per átfogó”-t jelenti, a szemközti befogó hosszúsága 8, az átfogóé pedig 17. A megoldás tehát 8/17. Végül pedig azt kell kiderítenünk, hogy mennyi a sin 60º. Ebben a derékszögű háromszögben a 60º-os szöggel SZEMBENI befogó / átfogó = (√3/2)/1, ami pedig √3/2. Így megvan minden elem a megoldáshoz. Ez volt itt a sin 60º... Az egészből az lesz, hogy a cos(ABC∠), ami 15/17, szorozva cos 60º, ami 1/2, tehát szorzunk 1/2-del, aztán kivonjuk sin(ABC∠)-et, ami 8/17, majd szorzunk sin 60º-kal, ami √3/2. Most már csak egyszerűsítenünk kell egy kicsit. Ebből tehát az lesz, ha szorzok 1/2-del, hogy 15/34, mínusz ‒ nézzük ‒ osztunk 2-vel, tehát ez 4/17 lesz, úgy fogom írni, hogy 4√3/17. Ennél jobban nem tudom egyszerűsíteni. Ha akarnám, közös nevezőre hozhatnám őket, 34 lenne a közös nevező, akkor ebből 8√3/34 lenne itt, de ettől nem lenne sokkal egyszerűbb. Tehát ez megfelelő válasz arra, amit kérdeztek: 15/34 - 4√3/17.