Elhanyagolásos módszer kis egyensúlyi állandó esetén

Az elhanyagolásos módszerről fogunk most beszélni. Ez olyan közelítéses módszer, amelyet egyensúlyi problémák megoldására használunk. A legfontosabb, amit rögtön az elején hangsúlyozok, hogy az elhanyagolás nem mindig vezet célra. Akkor használható a legjobban, és csak akkor érdemes alkalmaznod, amikor a reakció nagymértékben el van tolódva a termékek vagy a reaktánsok irányába. Itt felmerülhet benned a kérdés, hogy miből tudjuk azt, hogy az egyensúlyi reakció nagyon eltolódott akár a termékek, akár a reaktánsok irányába? Erre a K egyensúlyi állandó értéke adja meg a választ. Ha az eltolódás a termékek irányába történt, akkor a K értéke nagyon nagy. A nagyon nagy itt általában azt jelenti, hogy a nagyságrendje 10⁴, vagy annál nagyobb. Most a Kc állandóról van szó, ez az egyensúlyi állandó a koncentrációkból határozható meg. Ha pedig azt mondjuk, hogy az eltolódás a reaktánsok irányába történt, az azt jelenti, hogy a Kc nagyon kicsi. Azaz nagyrészt a reaktánsok vannak jelen, és nincs jelen túl sok termék. A nagyon kicsi Kc azt jelenti, hogy a Kc értéke 10⁻⁴, vagy annál kisebb. Ezek tehát azok az esetek, amikor az elhanyagolásos módszer jól használható. A közbülső esetekben, ahol a Kc értéke 10⁻⁴ és 10⁴ közé esik, nem annyira célszerű használni. Ilyenkor más módszert kell alkalmaznunk. Használhatunk másodfokú egyenletet, vagy a fokozatos közelítés módszerét (szukcesszív approximációt), de ezekre nem térünk ki ebben a videóban. Ezekkel a témákkal majd más videókban foglalkozunk. Hogyan működik tehát az elhanyagolásos módszer? Első lépésként feltételezzük, hogy a reakció teljesen eltolódott abba az irányba, ami a K alapján várható. Tehát tegyük fel, hogy a reakció 100%-ban végbemegy a termékek vagy a reaktánsok irányába, attól függően, hogy a K értéke nagyon kicsi vagy nagyon nagy. Második lépésként az első lépésben kapott információkat foglaljuk egy úgynevezett „ICE” táblázatba. „I” = kiindulási koncentráció, „C” = átalakulás, „E” = egyensúlyi koncentráció Ezután kiszámoljuk az x értékét a táblázat alapján, azzal a feltételezéssel élve, hogy az x elhanyagolhatóan kicsi. Innen ered a módszer elnevezése, az elhanyagolásos módszer. Majd kissé részletesebben is megbeszéljük, hogy ez pontosan mit is jelent, egy példa megoldásán keresztül. Az utolsó lépésben, amely nagyon-nagyon-nagyon fontos, ellenőrizzük az eredményt. Én ezt általában úgy csinálom, hogy visszahelyettesítem az egyensúlyi koncentrációkat a Kc egyensúlyi állandót leíró egyenletbe, hogy lássuk, vajon a kiszámolt koncentráció reális eredmény-e, és hogy azt a K értéket kaptuk-e, amire számítottunk. Hogy mindez a gyakorlatban is értelmet nyerjen, egy példán keresztül fogjuk áttekinteni. Olyan példán keresztül, amelyben nagyon kicsi az egyensúlyi állandó. Vagyis a Kc értéke 10⁻⁴, vagy annál kisebb, ami azt jelenti, hogy mivel az egyensúlyi állandó nagyon kicsi, döntően a reaktánsok vannak jelen, és nem túl sok a termék a reakciótérben, amikor beáll az egyensúly. A mai példánk az a reakció, amelyben a jódgáz, I₂, egyensúlyt tart a szintén gázállapotú jodidionokkal (2I⁻). Ennek a reakciónak a K egyensúlyi állandója az adott hőmérsékleten 5,6·10⁻¹². Ez elég kicsi szám, és egyértelműen kisebb, mint 10⁻⁴. Így tehát alkalmazhatjuk az elhanyagolásos módszert. Tudunk még néhány adatot a reakcióról: a I₂-gáz kiindulási koncentrációja 0,45 M, a I⁻-ionok kiindulási koncentrációja pedig nulla. Ezek alapján lépésről lépésre haladva alkalmazzuk az elhanyagolásos módszert. Feltételezzük, hogy a reakció 100%-ban végbement a termékek vagy a reaktánsok irányába. Ebben az esetben tudjuk, hogy főleg a reaktánsok vannak jelen. Abból kiindulva, hogy kiindulási állapotban a reaktánsok mellett semmi termék nincs, azt feltételezzük, hogy egyensúlyban még mindig főleg a reaktánsok lesznek jelen. Történni fog ugyan valami kis változás, valamennyi jód átalakul I⁻-ná. Jelöljük mínusz x-szel ezt a kis változást a I₂ koncentrációjában, amelyet az átalakulás okoz. Ez a mínusz x kétszer ennyivel növeli a I⁻ koncentrációját, de az x biztosan nem lesz túl nagy. Éppen ezért tudjuk alkalmazni az elhanyagolásos módszert. Ezeket összeadva, az egyensúlyi koncentráció 0,45-x lesz a I₂ esetében, és 2x a I⁻ esetében. Most a Kc egyenletéből kiszámolhatjuk az x-et, azt feltételezve, hogy az x értéke kicsi. Esetünkben a Kc kifejezhető a termék, azaz a I⁻ koncentrációjával a négyzeten (hiszen ennek az együtthatója 2), osztva a I₂ koncentrációjával. Behelyettesítve az egyensúlyi koncentrációkat táblázatból, 2x a négyzeten, osztva 0,45-x formában írható fel. Eddig nem végeztünk semmilyen elhanyagolást. Most fogjuk alkalmazni az elhanyagolást. Feltételezzük, hogy az x kicsi, és ezen belül azt is feltételezzük, hogy az x sokkal kisebb, mint 0,45 M. Ez alapján feltételezhetjük, hogy 0,45-x nagyjából ugyanannyi, mint 0,45. Az x tehát nem változtatja meg túlságosan a I₂ egyensúlyi koncentrációját. Ezzel a Kc egyenlete nagyon leegyszerűsödik. A nevezőben 4x szerepel a négyzeten, a 2x négyzetre emelése nyomán, a számlálóban pedig már nincs x. Így egy jóval könnyebben megoldható egyenlethez jutottunk, és mindez egyenlő 5,6·10⁻¹² -nel. Nagyszerű. Szorozzuk meg mindkét oldalt 0,45-dal, és osszuk el mindkét oldalt 4-gyel. így x² = 6,3·10⁻¹³ . Ebből gyököt vonva, x = 7,9·10⁻⁷ Ennyi tehát az x értéke. Most jön a második legfontosabb lépés. Az elhanyagolást követően meg kell bizonyosodnunk arról, hogy az elhanyagolással reális értéket kaptunk. Valahol megváltoztattunk egy dolgot. Úgy vettük, hogy az x kicsi, és elhanyagoltuk az egyenletmegoldás egyik lépése során. Meg kell bizonyosodnunk arról, hogy az eredeti feltételezés reális eredményhez vezetett. Látjuk, hogy x = 7,9·10⁻⁷ Azt feltételeztük, hogy ez sokkal kisebb, mint 0,45. Ez igaznak is látszik. Körülbelül hat nagyságrenddel kisebb, mint 0,45. Eddig rendben. A helyességéről úgy győződhetünk meg, hogy ellenőrizzük az eredményt. Helyettesítsük be az x-re kapott értéket, és ismét számoljuk ki a Kc értékét. Így tehát Kc annyi, mint kétszer az x, azaz 7,9·10⁻⁷, mindez a négyzetre emelve, és elosztva 0,45 mínusz x-szel azaz 7,9·10⁻⁷-nel. A szorzásokat elvégezve a Kc értékére 5,6·10⁻¹² adódik. Ez ugyanannyi, mint az eredeti érték. Ebből az alábbiak következnek: A: A közelítésünk jó volt. A kapott x alapján számított koncentrációk reálisak. B: (és ez egy újabb érv az ellenőrzés mellett), tehát B: láthatjuk, hogy nem vétettünk számolási hibát, ami egyébként könnyen előfordul hasonló feladatok megoldása során.