Kidolgozott példa: út és elmozdulás a hely-idő grafikon alapján

Az előző videókban már beszéltünk az út és az elmozdulás közti különbségről. Azt is láttuk, mit jelent az, hogy ábrázoljuk a helyet az idő függvényében. Ebben a videóban azt szeretném, ha ezt az összes ismeretet használnánk. Megnézünk hely-idő grafikonokat, és arra használjuk őket, hogy kiszámítsuk az elmozdulást és a megtett utat. Tehát az első feladatban az áll, hogy egy 3,2 kg-os leguán szaladgál ide-oda a földön. Az alábbi grafikonon látható a leguán vízszintes helye méterben az idő függvényében. Az első kérdés az, hogy mennyi a leguán elmozdulása 0 másodperc és 5 másodperc között. Nagyon körültekintőnek kell lennünk. Nem azt mondja, hogy 0 s és 6 s között, hanem azt, hogy 0 s és 5 s között. Állítsd meg a videót, és nézd meg, meg tudod-e oldani. Nos, az elmozdulás egyszerűen a hely megváltozása. Számít az előjel, figyelünk az irányra. Tehát ez a végpont mínusz a kezdőpont lesz. Mi a végpont? Nem a legvégéről beszélünk, nem az utolsó időpontról a grafikonon. Itt a végpont 5 másodpercnél lesz, tehát a végpont plusz 6 méter. Tehát a végpont plusz 6 méter. Ebből kivonjuk a kezdőpontot, a kezdőpont -2 méternél volt, -2 méter. Így ez egyenlő lesz 6 - (-2) = +8 méterrel. Tehát az egyik módszer szerint ez a leguán összesen 8 métert mozdul el a pozitív irányba. Ha azt gondoljuk, hogy a pozitív irány jobbra van, akkor nyolc méterrel jobbra került. Rajzolhatunk egy számegyenest. Szóval ez néha egy kicsit összezavarhat, mert vízszintes irányról beszélünk, de a helyet itt függőlegesen ábrázoljuk. De vehetjük ugyanezt a számegyenest, és átforgatjuk vízszintesre. Itt volt a -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8. Az történik, hogy a leguán -2-től indul, és a következő 3 másodpercben elmegy +6-ig. Ide megy, elmozdul 8-cal jobbra. Ezt láttuk itt, 6 - (-2) = 8. Na és mi a helyzet a leguán által megtett úttal ugyanezen idő alatt? Állítsd meg a videót, és nézd meg, hogy meg tudod-e oldani. Tehát az út az összes megtett távolság, az útvonal teljes hossza. De még egyszer: a leguán elment -2-től egészen +6-ig az első 3 másodpercben, és utána csak ott volt. Tehát ha az útra gondolunk, tulajdonképpen ugyanazt az eredmény kapjuk. Még ha nem is foglalkozunk az iránnyal, csak a nagysággal, akkor is ugyanazt kapjuk, 8 m utat tett meg. Szóval 8 métert megy, pontosan ugyanazt az eredményt kapjuk. Na most, érdekes lehet az a kérdés, hogy mi lenne a különbség, ha 5 másodperc helyett 6 másodperc lenne itt? Ha itt az lenne, hogy 0 s és 6 s között? Nos, akkor az elmozdulásra azt mondanánk, hogy mentünk +8-at, de utána megyünk még -6-ot. Tehát itt – hadd csináljam meg –, megyünk még -6-ot, és így tulajdonképpen +8 - 6, vagyis ha az egész 6 másodpercet nézzük, akkor az elmozdulás +2 méter lesz. A 8-ból kivonunk 6-ot. Egy másik lehetőség, ha úgy gondolkodunk, hogy a végpont 0-nál lenne, a kezdőpont pedig -2-nél volt. 0 - (-2) = 2. Ha az utat szeretnénk meghatározni 0 s és 6 s között, akkor lenne ez a 8 m, és aztán mennénk – annak ellenére, hogy visszamegyünk a 0-hoz, visszamegyünk ide a 0-hoz – 6 métert. Nem kell kivonni, mert az összes megtett út 8 méter jobbra, majd 6 méter balra, össze kell ezeket adni. Tehát ha az első 6 másodpercről beszélünk, nem pedig az első 5 s-ról, akkor 14 méter lesz az út. Hadd tisztázzam még egyszer, elmozdulás és út. Mindkét esetben +8 ez az első szakasz. Aztán amikor az elmozdulásról beszélünk, ezt kivonjuk, mert most balra megyünk, balra megyünk 6-ot. Tehát az elmozdulás esetében kivonjuk a 6-ot, és az egész elmozdulás +2. De az út, a teljes megtett út 8 méter jobbra, majd 6 m balra, a megtett út összesen 14 m. Csináljunk meg még egy feladatot! Egy 2,7 kg-os tatu egyenes vonalban mozog a sivatagban. Az alábbi grafikonon látható a tatu a vízszintes helyzete méterben az idő függvényében. Gondoljuk végig ugyanígy: az első 24 másodpercben – menjünk el egészen a 24. másodpercig. Gondoljuk végig, mennyi az elmozdulás, és mennyi a megtett út. Először állítsd meg a videót, és nézd meg, ki tudod-e számolni az elmozdulást az első 24 másodpercben. Nos, az elmozdulás a végpont mínusz a kezdőpont lesz. A végpont 0 méter, a kezdőpont – a helyünk a 0 időpontban – 6 méter – csak leírom a számokat. Tehát ez -6. Hadd mondjam el még egyszer. Amikor az idő 24 s – a függőleges koordinátát figyeljük –, akkor a hely 0, ebből adódik ez. Kezdetben, a 0 időpontban a hely itt volt, tehát a végpont mínusz a kezdőpont egyenlő -6-tal. Láthatjuk is ezt, ha végignézünk ezen a vonalon. +6-ról 0-ra kerültünk, ami azt jelentené, hogy 6-tal balra mozdultunk el, ha ezt elforgatnánk vízszintesre. Vagyis az elmozdulás -6. Lerajzolom egy vízszintes egyenesen is, hogy egy kicsit világosabb legyen. Tehát nulla, négy, nem... 0, 3, 6, 9, 12, 15, és így tovább. 6-tól indulunk – lilával csinálom –, 6-tól indulunk, egy csomó dolgot csinálunk közben, de a végén, 24 s elteltével, 0-nál leszünk. Tehát elmentünk 6-tal balra, vagyis az elmozdulásunk -6. 0 - 6 = -6. Most pedig próbáljuk meg kiszámolni az utat! Állítsd meg a videót, és számold ki az utat, amit ez a tatu megtett 24 másodperc alatt. Ez érdekes, tehát itt van, a 6 m helyről indul – itt csinálom –, a 6 m helyről indul, és az első 8 másodpercben ott is marad. Aztán 8 s-tól 16 s-ig a hely megnő 9-cel, 15 lesz. Szóval ezt csinálja, elmegy 15-ig. Ez tehát plusz 9 lesz. És utána a 16. másodperctől 15-től visszamegy 0-ra, 15-től visszamegy 0-ra. Ha az elmozdulásról gondolkodnánk, akkor -15-öt írnánk ide, és aztán az egészre -6-ot kapnánk. De most az útról gondolkodunk, ezért a pálya egyes szakaszainak az abszolút értékét vesszük, így mindegyik pozitív lesz. Csak azt kérdezzük, mennyi utat tett meg összesen? Szóval ez plusz 15 lesz. Ezeknek a nyilaknak csak a hosszukkal foglalkozunk, az irányukkal nem. Így aztán 9 + 15 = 24. Ez érdekes, ugyan a tatu összesen 24 m-t tett meg, a pályájának a teljes hossza 24 m volt, de az elmozdulása 6 m volt balra. Ez egy másik dolog, amit ki kell hangsúlyozni. Ez a negatív előjel az irányt jelzi. Azt jelenti – ha ezen a számegyenesen néznénk – azt jelenti, hogy balra. Ha ez +6 lenne – mivel elmozdulásról beszélünk –, ez azt jelentené, a pozitív azt jelentené, hogy jobbra. Az út nem árul el semmit az irányról, csak a teljes megtett út abszolút értékét mondja meg, vagyis a pálya hosszát.