A mozgás értelmezése hely-idő grafikonnal

Beszéljünk a hely-idő grafikonokról! Ezek elég bonyolultak, ha még sosem láttál ilyet, nagyon nehéznek tűnhetnek. De a fizikusok szeretik őket, a tanárok is szeretik, és rengeteg dolgozatban szerepelnek. Miért szeretik olyan sokan ezeket? Azért, mert egy csomó információt össze lehet sűríteni egy test mozgásáról egy nagyon kicsi helyre. Gyakorlatilag részletesen megadja a test teljes mozgását, és még egyenletet sem kell felírni, vagy sokat beszélni, egyszerűen csak itt van minden. Szóval nagyon praktikusak, tudnod kell használni őket. Tehát ez a grafikon egy test mozgását mutatja. Ahelyett, hogy egy testet mondunk, pontosítsunk, legyen ez egy teknős. Egy teknős, de nem akármilyen teknős, hanem jet pack van a hátán. Nem szeretnék szigorúan megfogalmazott leveleket, nem szeretnék egy csomó rosszindulatú kommentet, úgyhogy tegyünk sisakot a teknősre. Hú, rózsaszín sisak, nagyon csinos. Most már biztonságban van a teknős. Mindig biztonságosan használjuk a rakétákat! Jó, akkor tegyük fel, hogy a teknős mozog, és ez a grafikon mutatja ennek a teknősnek a mozgását. Az első hiba, amit sokan elkövetnek, az az, hogy azt gondolják, hogy a grafikon alakja olyan, mint a teknős pályájának alakja a térben. Tehát hogy a teknős előrement, aztán le, majd fel. De ez nem így van. Valójában közel sem így történik. Hogy rájöjjünk, mit jelent valójában ez a grafikon, hadd tegyek ide egy vízszintes tengelyt, ez a tengely fogja mutatni a vízszintes helyet. x-szel jelölöm, és a mértékegység méter lesz. Azért csinálom így, mert nézd csak, itt a grafikonon ebben az esetben x-et írtam ide, tehát ez lesz a vízszintes helye a teknősnek. Szóval tulajdonképpen a vízszintes helyzetet ábrázoljuk. Ez azt jelenti, hogy ha azt látod, hogy a teknős egy adott pontban van, pl. itt, x = 2-nél, akkor a grafikonnak azt kell mutatnia, hogy a teknős x = 2-nél van, azt kell mutatnia, hogy az érték 2. Tehát valahol 2,4 másodpercnél a teknős 2 méternél volt. Erről szól ez a grafikon. Olvassuk le a grafikont, és derítsük ki, mit csinált ez a teknős! Ha nem előre, lefelé és felfelé ment, akkor mit csinált? t = 0-tól indulunk, innen indulunk. t = 0-nál a grafikon értéke 3. A grafikon értéke a vízszintes helyzetet jelenti, a grafikon értéke megadja a vízszintes helyzetet. Tehát t = 0-nál a teknős 3 méternél van. Tegyük ide a 3 méterhez! Innen indul. 3 méter, ez a t = 0. Most mi történik? t = 1 secundumnál ugyanaz. Úgy olvassuk le a grafikonról, hogy felmegyünk, elérünk a grafikonhoz, aztán balra megyünk, hogy lássuk, hol vagyunk. A teknős még mindig 3-nál van. 2 secundumnál felmegyünk, elérünk a grafikonhoz, balra megyünk, hogy lássuk, hol vagyunk. A teknős még mindig 3-nál van, ez kínos. Ez a teknős még csak nem is mozog. Tehát az első két másodpercben a teknős csak itt ül. Tehát az egyenes vonal, a vízszintes vonal a hely-idő grafikonon azt jelenti, hogy nincs semmilyen mozgás. Itt nem volt mozgás. Ez kínos. A teknős valószínűleg próbálta kitalálni, hogy kell bekapcsolni a rakétát. El kellett volna olvasnia a használati útmutatót. Sajnálom. Na jó, most mi történik? Egy kicsit később, 4 secundumnál a teknős -5 m-nél van. Ez itt van egészen hátul. Tehát 2 s és 4 s között errefelé száguldott. Ez is kellemetlen, kapcsolja ki a hátramenetet. Milyen béna ez a teknős! Tessék, hátrafelé ment egészen idáig. Utána mit csinált? Ez után a pont után előreszáguld, itt visszakerül a 0 helyre, és utána visszamegy egészen 3 méterig. Tehát a teknős előreszáguld 3 m-hez. Ezt csinálta a teknős, ezt szemlélteti ez a grafikon, és így lehet értelmezni. De ennél több van benne. Mondtam, hogy nagyon sok információt tartalmaz, és így is van. Tehát az egyik információ, amit megkaphatunk, a teknős elmozdulása. Az elmozdulást delta x-szel jelölöm. Emlékezz vissza: az elmozdulás a végpont mínusz a kezdőpont. Bármely két időpont közötti elmozdulást meg tudjuk itt keresni, de az egyszerűség kedvéért a grafikonon látható összes időre fogjuk meghatározni. Meghatározhatnám 0 s és például 4 s között is, de csináljuk 0-tól 10-ig, az egész mozgásra. Tehát mi a végpont? A végpont az a hely, ahol a teknős volt 10 s-nál, 3 m-nél volt 10 s-nál – a grafikonról olvasom le –, mínusz a kezdőpont – a teljes időt vesszük figyelembe –, 0 s-nál, ekkor szintén 3 m-nél volt, ez azt jelenti, hogy a teljes elmozdulás nulla. Ennek van is értelme, mert a teknős 3-tól indult, hátrament -5-höz, vagyis 3-tól indult, ott állt 1-2 másodpercig, hátraszáguldott -5-höz, és visszament 3-hoz, tehát ugyanazon a helyen volt a végén, ahol kezdte, összességében nincs elmozdulás. Mit tudunk még meghatározni? Ki tudjuk számolni az összes utat. Az összes megtett út – emlékszel, az út a megtett pályaszakaszok összege. Tehát az első pályaszakasz: itt nem volt megtett út. Ez a kínos rész, erről nem akarunk beszélni, mert megsérthetjük a teknős érzéseit. Aztán – tehát ez 0 méter – plusz 2 és 4 másodperc között elment 3-tól -5-ig, ez 8 méter út. Mínusznak kellene írni? Dehogyis, az út mindig pozitív. Ezek az útszakaszok mind pozitívak. Tehát 8 méter, mert a teknős 3-tól hátrafelé ment egészen -5-ig, a megtett út 8 méter. Plusz 4 s-tól 10 s-ig -5 métertől eljutott vissza egészen 3 m-ig. Ez azt jelenti, hogy megtett újabb 8 métert, és így az összesen megtett út 16 méter volt az egész mozgás során. Ezt is meghatározhatnánk bármely két pont esetén. Jó, mit tudunk még kiszámolni? Ki tudjuk számolni mondjuk, az átlagsebességet. Időnként egy vonallal jelzik, néha csak azt mondják, hogy átlag (avg). Avg. Mit jelent ez? Emlékezz vissza: az átlagsebesség az elmozdulás per az idő. Határozzuk meg az egész mozgásra! A teljes átlagsebesség értékét keressük. Tehát a teljes átlagsebességhez a teljes elmozdulásra van szükség, ezt már meghatároztuk. A teljes elmozdulás 0 volt az egész mozgásra nézve, tehát ez 0 méter, osztva igazából nem számít, hogy mennyivel, de 10 s volt az idő a teljes elmozdulásra nézve. Nem méter, 10 másodperc. Tehát ez egyenlő nullával. Ez a teljes átlagsebesség, az átlagsebesség 0 volt az egész mozgásra nézve, mert a teknősnek összességében nem volt elmozdulása. És mi a helyzet az átlagos sebességnagysággal? Szóval az átlagos sebességnagyság, így fogom írni, hogy átlagos sebességnagyság. Lehet, hogy látsz az s (magyarul v) fölött egy vonalat, vagy s (v) és alsó indexben az átlag. Nem tudom. A fizikusok mindenféle betűket használnak, nem lehet tudni, mit kapsz majd. De az átlagos sebességnagyságot úgy értelmezzük, hogy út per idő. Próbáljuk meghatározni az átlagos sebességnagyságot is a teljes 10 s időtartamra! Ez nem túl rossz, mert az összes utat már kiszámoltuk, 16 m lett. Tehát 16 m osztva az összes idővel, 10 másodpercig tartott az egész mozgás, a teknős átlagosan 1,6 m/s sebességgel haladt. Ez volt az átlagos sebességnagysága. Valószínűleg egy kicsit nagyobb lett volna, ha nincsenek technikai nehézségei itt az elején. Rendben. Még ennél is többet tudunk kiszámolni. Ki tudjuk számolni a pillanatnyi sebességet. Néha azt látod, hogy v, és alsó indexben pill., néha csak v-t, mert általában erről beszélünk, amikor a sebességről beszélünk. Sokat beszélünk a pillanatnyi sebességről. Mi is ez? Ez egy fontos fogalom, sőt lehet, hogy ez a legfontosabb fogalom ebben az egész videóban. A pillanatnyi sebesség meghatározásához, amikor adott a hely-idő grafikon, a meredekséget kell nézni, ugyanis a hely-idő grafikon meredeksége egyenlő az adott irányú sebességgel. Tehát mivel ez a vízszintes hely az idő függvényében, a meredekség megadja az x irányú sebességet. És nem csak ezt. Ha meghatározzuk az átlagos meredekséget, akkor megkapjuk az átlagsebességet, és ha megkeressük a pillanatnyi meredekséget, akkor megkapjuk a pillanatnyi sebességet. Hogy csináljam, hogy határozzam meg a pillanatnyi meredekséget? Általában, ha a grafikon görbe vonal, akkor analízist kell használni. De itt szerencsénk van, mert nézd, ezek a szakaszok mind egyenesek, és ez azt jelenti, hogy az átlagos meredekség tetszőleges két pont között ezeken a szakaszokon egyenlő lesz a pillanatnyi sebességgel a szakaszok bármelyik pontjában. Csináljuk meg konkrétan! Lássuk csak, meg akarjuk határozni a pillanatnyi sebességet 3 másodpercnél – bármelyik pontot választhatjuk –, 3 másodpercnél. Hogy csináljuk? Át kell gondolnunk, mit értünk ez alatt. A pillanatnyi sebesség alatt azt értjük, hogy mennyi a sebesség 3 s-nál. A meredekség itt – rá kell menni a grafikonra –, veszem a 3-at, lemegyek a grafikonra azt szeretném tudni, mekkora a pillanatnyi meredekség ebben a pontban. – Rárajzolom itt erre, ami itt van. – Azt szeretném tudni, mennyi itt a meredekség. Hogy csinálom? Említettem, hogy az a lényeg, hogy az átlagos meredekség két tetszőleges pont között ezen a szakaszon – tehát ha akarom, választhatom ezt a kettőt –, az átlagos meredekség a két pont között egyenlő lesz a pillanatnyi meredekséggel bármely pontban, mert látod, a meredekség itt nem változik. A meredekség végig ugyanolyan. Ha veszed ennek a csomó mennyiségnek az átlagát, ez mind ugyanannyi, egyszerűen ugyanazt az értéket fogod kapni, mint bármelyik ezek közül. Bonyolultan mondtam el, de ha pl. veszed az átlagát ezeknek a számoknak: 8, 8, 8 és 8, akkor mit kapsz? Ezeknek a számoknak az átlaga 8, ami ugyanannyi, mint bármelyik ezek közül. Tehát amikor a grafikon egyenes vonal, akkor szerencséd van. Nem kell hozzá analízis. Úgy határozod meg az átlagsebességet, elnézést, úgy határozod meg a pillanatnyi meredekséget bármelyik pontban, hogy veszed az átlagsebességet két tetszőleges pont között. Ezt a kettőt választom. Miért ezt a kettőt? Azért, mert könnyen leolvashatóak, pontosan tudom, hogy hol vannak. Ez 3 és 2, ez pedig -5 és 4. Talán kíváncsi vagy rá, hogy miért van így, miért egyenlő a sebesség a meredekséggel? Nos, emlékszel, hogy tanultad matematikából? A meredekség a 2. koordináták különbsége per az 1. koordináták különbsége. És akkor valószínűleg úgy gondoltad, hogy ez így rendben van, a matematikában úgy van, hogy y₂ - y₁ per x₂ - x₁, azért így van, mert a matematikában a függőleges tengely mindig y, és a vízszintes tengely mindig x De ez fizika, itt a vízszintes tengely nem x, hanem a vízszintes tengely t, és a függőleges tengelyt nevezzük x-nek. Tehát a fizikában ennek a grafikonnak a meredeksége, pontosabban a 2. koordináták különbsége ebben az esetben ezen a tengelyen lesz, tehát x₂ - x₁, per az 1. koordináták különbsége, ez pedig t₂ - t₁ lesz. Rendben, hogy csináljuk ezt? Ez a 2. pont, ez az 1. pont. Honnan tudom? Miért nem ez a 2., és ez az 1.? Amelyik kiválasztott pont későbbi időponthoz tartozik, az a 2. pont. Tehát a (4 s; -5 m) pont a 2. pont. Jó, tehát az x₂ -5 lesz, csak leolvasom a grafikonról, a 2. pont, ez -5. Tehát azt kaptam, hogy -5 m mínusz x₁, ez itt van – az x₁ nem a 4, ez idő, nem hely –, tehát az 1. pontban a vízszintes hely 3 volt, plusz 3, de tegyünk mínuszjelet ide, mert kivonás van a képletben. Utána osztva t₂, ez 4 s volt, mínusz t₁, ami 2 s. És ha megnézed ezt, -5 - 3, az -8, osztva 2 s-mal – hoppá, a mértékegységek –, ó, nézzenek oda, -4 m/s-ot kaptam. Ennyi volt a pillanatnyi sebesség 3 s-nál. -4 m/s. Mínusz, mert a teknős visszafelé ment. Emlékszel, ez kínos volt, hátramenetbe kapcsolt előre helyett. Mínusz, és 4 m/s, mert látod, 4 métert tesz meg minden másodpercben. 8 métert ment 2 s alatt, ez azt jelenti, hogy átlagosan 4 m/s sebességgel ment. És mivel ez egyenes vonal, ennyi volt a sebessége minden pillanatban. Nagyszerű. Rendben. Ennyi lenne akkor is, ha a következő kérdés az lenne, hogy mennyi a pillanatnyi sebesség 2,4 s-nál. Ne aggódj. Nézd, mindenütt ugyanannyi, ugyanaz lenne a válasz, -4 m/s ezen az egész szakaszon. Mit tudunk még kiszámolni? Az utolsó dolog legyen az, hogy mondjuk, azt kérdezik, mennyi a pillanatnyi sebességnagyság egy pontban? Úgy írom, hogy s, alsó indexben inst (magyarul v alsó indexben pill.), pillanatnyi sebességnagyság, vagy egyszerűen csak s (magyarul v), mert általában ezt értjük sebességnagyság alatt. Egyenlő az átlag, nem, bocsánat, a pillanatnyi sebesség abszolútértékével. És most itt feltételeznem kell valamit, ez egy kicsit árnyalja a dolgot. Ha csak a vízszintes helyzet grafikonja van megadva, nem igazán ismerjük a függőleges helyzetet. A teknős mozoghatott előre-hátra, de fel is repülhetett, miközben előre-hátra ment. Ha a vízszintes helyzete végig ilyen lenne, akkor ez pontosan ugyanígy nézne ki, függetlenül attól, hogy milyen lenne a függőleges mozgása. Tehát óvatosnak kell lennünk, mert a sebességnagyság a teljes sebesség nagysága, ez pedig csak az x irányú sebesség. Szóval feltételezünk egy dolgot. Feltételezem, hogy a teknős csak vízszintesen mozgott, függőlegesen nem. Nem áll még készen erre. Jó, tehát hogyan kapjuk meg a sebességnagyságot? A sebességnagyság egyszerűen az abszolútérték, a pillanatnyi sebesség nagysága. És ha ez a sebesség egyetlen összetevője, akkor elég könnyen meg tudom határozni, úgy, hogy azt mondom, hogy meg kell adni az időt. Nincs értelme azt mondani, hogy pillanatnyi sebességnagyság, azt kell mondani, hogy pillanatnyi sebességnagyság egy adott időpontban. A pillanatnyi sebességnagyság itt 0 volt, és ebben a pontban mennyi lenne? Ennek az abszolútértéke lenne, tehát plusz 4 m/s. Ennyi lenne a pillanatnyi sebességnagyság 3 s-nál, vagy bármelyik időpontban 2 és 4 s között. Hú, ez sok volt, mondtam, hogy sok minden van benne. Gyorsan összefoglalom. A vízszintes helyet az idő függvényében ábrázoló grafikon értéke megadja a vízszintes helyet. Micsoda meglepetés! A vízszintes hely-idő grafikonnak a meredeksége megadja az x irányú sebességet. Az átlagos meredekség megadja az átlagsebességet, a pillanatnyi meredekség a pillanatnyi sebességet, és ha ez egyenes vonal, nincs benne görbület, akkor ezek egyenlők lesznek bármelyik megadott szakaszon. Itt is ugyanúgy van. Erre mondhatod, hogy várj csak, ezek nem egyformák! Igen, mert az egésznek az átlagát vettem, az átlagsebességet az egész időre számoltam ki, és a meredekség közben változott. Valójában ennek az egésznek az átlagát kaptam meg, ezért nem egyenlők. Ha visszafognám magamat, és az átlagértéket csak egy olyan szakaszra számolnám ki, amelyiknek nem változik a meredeksége, akkor az egyenlő lenne a pillanatnyi meredekséggel a szakasz bármelyik pontjában. A pillanatnyi sebességnagyság pedig a pillanatnyi sebesség nagysága, feltételezve, hogy a mozgás csak egy egyenes mentén megy végbe.