Leképzési törvény példafeladatok

A leképezési törvényt gyakorló feladatok elsőre ijesztőek lehetnek. És nem azért, mert a tüköregyenlet annyira bonyolult lenne. Elég egyszerű, csak néhány tört összege. A dolog akkor bonyolódik, amikor el kell dönteni, hogy vajon az előjelek pozitívak vagy negatívak legyenek. Szóval sokszor kell választani pozitív és negatív között. És egy hiba elég ahhoz, hogy rossz eredményt kapj. Nézzünk néhány feladatot a leképezési törvényre, és látni fogod, hogyan is kell bánni az előjelekkel. Figyelmeztetlek, hogy mindenkinek megvan a maga előjelszabálya. Az optikában sok különböző előjelszabály létezik. Én azt használom, amelyiket szerintem sok tankönyv is használ manapság, ami azt mondja, hogy minden, ami a tükör előtt van... Vagyis az az oldal, ahol a szemed is van. Tegyük fel, hogy itt a szemed, jó? Nézed a tárgyat, ami lehet egy nyíl vagy egy ceruza, egy kék ceruza, ezt tartod ez előtt a tükör előtt, ez itt a tükör. A szabály, amit én használok, azt mondja, hogy mindent, ami a tükörnek ezen a felén van, pozitívnak veszünk. Ha tehát a fókuszpont ezen az oldalon van, akkor pozitív. Ha egy tárgytávolság van ezen az oldalon, szintén pozitív. És ha a képtávolság is pozitívnak jön ki, akkor tudni fogod, hogy a kép a tükör előtt keletkezik. Ha valami negatívnak jön ki, vagyis ha a számolás után a képtávolságnak negatív értéket kapunk, akkor tudni fogjuk, hogy az a tükör mögött keletkezik. Aminek van is értelme, negatív, mint mögötti, és pozitív, mint előtti. Ez az oldal tehát a tükör előtt van, így pozitív lesz. Ez itt hátul a tükör mögött van, ezért negatív lesz. Van is itt már néhány értékem. Oldjuk meg ezt! Hol is kezdjük? A leképezési törvényt fogjuk használni. Azt mondjuk, hogy 1 per a fókusztávolság – és itt már el is kell döntenünk, hogy pozitív vagy negatív előjelű lesz. Tehát ennek a tükörnek a görbülete azt mutatja – aszerint, ahonnan nézzük –, hogy ez egy homorú (konkáv) tükör. És a megbeszélt előjelszabályt használva, a homorú tükröknek mindig pozitív fókusztávolsága lesz. Más szóval, mivel ez a fókuszpont 4 centiméterre van a tükör középpontjától, a fókusztávolságnak plusz 4 cm-t kell behelyettesítenem. Figyeld, hogy nem váltom át a mértékegységet. Ami rendben is van, ha mindent centiméterben hagysz, akkor az eredményt is centiméterben kapod meg. Vagyis nem kell átváltani addig, amíg minden ugyanabban a mértékegységben van. Ezt egyenlővé tesszük 1 per tárgytávolság... Csak még valami, tárgytávolságnak néha 'do' helyett 'so'-t fogsz látni, vagy képtávolságnak 'di' helyett 'si'-t. Ugyanazt fogja jelenteni, csak különböző betűkkel jelölve. A tárgytávolság tehát a tükör előtti oldalon van, ezért plusz 12 centiméter lesz, mivel 12 centiméterre van a tükör középpontjától. Tehát ez is plusz lesz, plusz 12 centiméter. És most még hozzá kell adjuk az 1 per képtávolságot. A képtávolságot nem ismerjük, nem rajzoltam még fel a képet, meglepetés lesz. Nem tudjuk, hogy mekkora lesz, de ki tudjuk számolni. Ebből kifejezhetjük a képtávolságot. Kivonok mindkét oldalból 1 per 12 -t, amiből azt kapjuk, hogy 1 per 4 centiméter mínusz 1 per 12 centiméter egyenlő kell legyen 1 per képtávolság. Az 1/4 -et írhatom 3/12-nek, vagyis 3/12 mínusz 1/12 az 2/12 lesz, és ez egyenlő lesz 1 per a képtávolság. Viszont 2/12 az pont 1/6, vagyis 1 per a képtávolság egyenlő lesz 1/6 -dal. De ez 1 per a képtávolság. Az emberek néha elfelejtik megfordítani a végén. Mi nem az 1 per képtávolságra vagyunk kíváncsiak, hanem a képtávolságra. Végül tehát mindkét oldal reciprokát kell venni, és meg is oldottuk, azt kaptuk, hogy a képtávolság 6 centiméter. És pozitívnak jött ki. Ez fontos. Ez itt plusz 6 centiméternek jött ki. Tehát hol keletkezik a kép? Mivel a képtávolság pozitív lett, a képünk a tükör előtt fog keletkezni. Itt lesz valahol, 6 centiméterre lesz a tükörtől, valahol itt. E körül a pont körül lesz tehát a kép. Viszont nem tudjuk, hogy mekkora lesz, és azt sem, hogy egyenes vagy fordított állású. Ahhoz, hogy ezt megkapjuk, egy másik egyenletet kell használnunk, amit nagyítási képletnek neveznek. Ez azt mondja, hogy a nagyítás egyenlő a kép magassága osztva a tárgy magasságával, ami egyenlő mínusz képtávolság osztva a tárgytávolsággal. Tehát ez a mínusz képtávolság per tárgytávolság mindig egyenlő a képmagasság per tárgymagassággal. Mekkora lesz tehát a képünk magassága? Számoljuk ki! Ha kifejezzük a kép magasságát, azt kapjuk, hogy a képmagasság egyenlő – megszorozzuk mindkét oldalt 'ho'-val, a negatív előjel már itt is van –, vagyis mínusz tárgymagasság szorozva ezzel a képtávolság per tárgytávolság aránnyal. És most már csak be kell helyettesítenünk a számokat. A tárgy magasságáról tudjuk, hogy 3 centiméter. Vagyis 3 centiméter, mármint mínusz 3 centiméter szorozva ez az arány. A képtávolság 6 és a tárgytávolság 12 centiméter volt. Ha elvégzed a számolást, mínusz háromnak a felét kapod, ami mínusz 1,5 centiméter. A negatív előjel azt jelenti, hogy fordított állású képed lesz. Tehát megfordul. Fejjel lefelé lesz ahhoz képest, ahogy volt. Az 1,5 pedig a magasságát mutatja. Szóval az jött ki, hogy a kép hat centiméterre lesz a tükörtől, a magassága feleakkora lesz, vagyis 1,5 centiméter, és fordított lesz, amit a negatív előjelből tudunk. Vagyis 1,5 centiméter magas lesz és fordított állású. Ezt fogod látni, ha belenézel ebbe a tükörbe. Mint egy elvarázsolt kastély tükre. Egy furcsa görbült tükör. Itt látnál egy fordított képet. Olyan lenne, mintha meg tudnád fogni, de az csak optikai csalódás. Nincs ott semmilyen tárgy, csak ennek a tárgynak a képe lesz ott. Ez tehát egy példa a homorú tükörre. Mi változna, ha a következőt tennénk, mi lenne, ha a tárgyunkat ide tennénk? Jobban mondva, nem is itt lenne, hanem itt, közel a tükörhöz. Vagyis 12 centiméter helyett 3 centiméterre tennénk a tükörtől. Mit kellene másképp csinálnunk? Minden maradna a régi, kivéve, hogy plusz 12 helyett itt lent, plusz 3-at helyettesítenénk be. A leképezési törvény tehát ugyanúgy érvényes. Ugyanúgy be kell helyettesíteni a tárgytávolságot, és meg kell oldanod a képtávolságra. Az világos, hogy más eredményt kapsz. De bármi is jön ki, az megadja majd, hogy hol keletkezik a kép. Majd annak az eredményét behelyettesíted a nagyítási képletbe, ha meg akarod tudni a kép magasságát, és azt, hogy egyenes vagy fordított állású képed lesz. A számok tehát mások lesznek, de az egyenletet ugyanúgy kell használnod. Na most mi történne, ha homorú tükör helyett domború tükröt használnánk? Tegyük fel, hogy egy ilyen alakú tükröt használunk. Képzeld el, hogy a szemed ismét itt van, nézi ezt a tárgyat a tükörben, és látni fogja a képét is a tárgynak. Itt lesz a tárgyunk, de fogjuk látni a képét is a tárgynak. Ezúttal, homorú tükör helyett, domború tükrünk van. A fókuszpontja tehát a tükör mögött lesz. Mit kell most tennünk, hogy megkapjuk, hol keletkezik a kép? Ismét a tüköregyenletet fogjuk használni. Ugyanazt az egyenletet, mint az előbb. Vagyis 1 per fókusztávolság... És ismét, máris döntenem kell az előjelet illetően. A szabály szerint, amit alkalmazok, a fókuszpont a tükör mögött van, így a domború tükör fókusztávolsága negatív lesz. Ez tehát mínusz 4 centiméter lesz. És ez egyenlő 1 per tárgytávolság... Nos, ismét, a tárgy a tükör előtt van 12 centiméterre, a tárgytávolság ezért plusz 12 centiméter lesz. Ehhez hozzáadjuk a képtávolság reciprokát, amit még nem ismerünk. Ezt akarjuk kifejezni ebből. Ezúttal, ha megoldjuk, 1 per mínusz 4, ismét ki kell vonnunk az 1 per 12 -t, ami így egyenlő lesz 1 per a képtávolsággal. Most a bal oldalon van mínusz 1/4, ami megfelel mínusz 3/12 -nek. Vagyis mínusz 3/12 mínusz 1/12 az mínusz 4/12 lesz. És ez egyenlő lesz 1 per a képtávolság... Viszont mínusz 4/12 megfelel mínusz 1/3 -nak. Tehát 1 per a fókusztávolság egyenlő lesz mínusz egyharmaddal. Ha ennek a reciprokát vesszük, akkor képtávolságnak végül mínusz 3 centimétert kapunk. Más szóval, ez itt mínusz 1/3 -al lesz egyenlő, így amikor mindkettő fordítottját veszed, azt kapod, hogy a képtávolság az mínusz 3 centiméter. Hol is keletkezik ez a kép? Nos, mivel negatívnak jött ki, ez azt jelenti, hogy a tükör mögött lesz, mivel ezt mondja a szabály, amit alkalmazunk. Vagyis 3 centiméterre lesz a tükör mögött. Szóval valahol itt lesz, ennél a pontnál, 3 centiméterre a tükör mögött. És ismét, ha tudni akarjuk a kép méretét, és esetleg azt, hogy egyenes vagy fordított állású, akkor a nagyítási képletet kell alkalmaznunk. A nagyítási képlet pedig így nézett ki. Úgy volt, hogy a képmagasság per tárgymagasság egyenlő kellett legyen mínusz képtávolság per tárgytávolsággal. Nézzük csak, mi is lesz itt a jobb oldalon! Ez egyenlő lesz, mínusz ... A képtávolság mínusz 3, vagyis ide mínusz 3-at kell behelyettesíteni. És itt ezt a negatívat is megtartjuk. Ez a negatív előjel mindig itt van, viszont most van egy másik negatív előjelünk is itt a képtávolságnál, mégpedig mínusz három. A tárgytávolság pedig most is 12 centiméter. Mit kapunk? Itt a mínusz három ellentettjét kaptuk, ami végül plusz 3 per 12 lesz, ami megfelel plusz 1/4 -nek, a centiméter pedig kiesik. Ez az arány tehát a nagyítás mértékét mutatja, és azt, hogy a kép nem fordított lesz. Ez a pozitív előjel azt jelenti, hogy egyenes állású képed lesz. Az 1/4 arány pedig azt jelenti, hogy a kép 1/4 akkora, mármint a tárgyhoz képest 1/4 akkora magas képet kapsz. Azért, mert ez az arány egyenlő a képmagasság per tárgymagasság. Más szóval, ha beszorzom mindkét oldalt, mondhatom, hogy a kép magassága egyenlő plusz 1/4 szorozva a tárgy magasságával. Nos, a tárgyunk magassága ebben az esetben három centiméter. De bármekkora is legyen a tárgy, ha megszorzod ezzel a mínusz 'di' per 'do' aránnyal, megkapod, hogy mekkora lesz a kép. Mi tehát a három 1/4-ét fogjuk kapni, vagyis plusz 3/4 centimétert. Tehát kicsi lesz. Elég kicsi lesz, kicsi és egyenes állású. Itt fog keletkezni, de pici lesz. Körülbelül ekkora, egy centiméter 3/4-e. Így fog kinézni a képünk. Szóval összegezve: a leképezési törvényt (vagy tüköregyenletet) arra tudod használni, hogy kiszámold a kép helyzetét. Az előjelszabály, amit használunk, azt mondja, hogy a tükör előtti tárgy-, kép- és fókusz- távolságokat pozitívnak vesszük. Minden, ami a tükör mögött van, negatív. A nagyítási képletet pedig arra használhatod, hogy kiszámold a keletkező kép magasságát a tárgyhoz képest úgy, hogy a tárgy magasságát megszorzod mínusz képtávolság per tárgytávolsággal.