Fő tartalom
Az algebra alapjai
Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 5. témakör
4. lecke: Egyenletrendszer megoldásainak a száma- Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 1.
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 2.
- Egyenletrendszer megoldása: konzisztens vagy inkonzisztens
- Egyenletrendszer megoldása: függő vagy független
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag
- Hány megoldása van egy egyenletrendszernek, ha van legalább kettő?
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma – összefoglalás
© 2023 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés
Egyenletrendszer megoldása: függő vagy független
A függő egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, míg a független egyenletrendszernek egy megoldása van. Nézz meg egy példát, amelyben megvizsgáljuk, hogy az egyenletrendszer függő vagy független. Készítette: Sal Khan és Monterey Institute for Technology and Education.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Az alábbi elsőfokú
egyenletrendszer függő vagy független? Megadtak két egyenletet. Mielőtt nekifognék ennek
a konkrét feladatnak, tekintsük át egy kicsit, hogy mit jelent az,
hogy függő vagy független. És tulajdonképpen együtt fogom vizsgálni
ezt a konzisztens és inkonzisztens fogalmakkal. Kezdjük azzal, hogy ha elsőfokú
egyenletrendszerekről van szó két dimenzióban, akkor az egyenesek vagy egyenletek
csak háromféleképpen viszonyulhatnak egymáshoz. Lerajzolom a három lehetőséget. Rajzolok 3 koordinátarendszert. Ez az első x tengely és y tengely. Rajzolok egy másikat, ez az x és ez az y. Rajzolok még egyet, – mert csak 3 lehetséges eset van
két dimenzióban, ha elsőfokú egyenletekkel
van dolgunk –, x és y. Tehát előfordulhat az a helyzet, hogy az egyenesek egy pontban
metszik egymást. Csináljuk meg ezt! Tehát lehet egy ilyen egyenes, és egy másik,
ami így nézhet ki, ezek egy pontban
metszik egymást. Lehet olyan helyzet, amikor a két egyenes
párhuzamos. Tehát lehet olyan helyzet
– hadd rajzoljam ide –, amikor van egy egyenes,
amelyik így megy, és a másik egyenesnek ugyanaz
a meredeksége, de el van tolva, az y tengelymetszete más,
szóval valahogy így néz ki. Ekkor nincs metszéspont. Aztán lehet még
olyan helyzet is, amikor a kettő lényegében
ugyanaz az egyenes, azaz a két egyenesnek ugyanaz
a meredeksége és az y tengelymetszete, szóval tényleg ugyanaz
a két egyenes. Végtelen sok közös pontjuk van, az egyik egyenes minden pontja rajta van a másik egyenesen is. Egy kis visszatekintés
a szakkifejezésekre: – erről az előző videóban tanultunk – ez a fajta egyenletrendszer,
amikor nincs metszéspont, amikor nincs megoldás, ez az inkonzisztens
egyenletrendszer. És definíció szerint – vagy csak egyszerűen vesszük az
inkonzisztens ellentettjét – ez a kettő konzisztensnek
tekinthető. De aztán a konzisztensen belül
nyilvánvalóan van különbség. Itt csak egy megoldás van, ez két különböző egyenes, amelyek egy helyen
metszik egymást, itt pedig tulajdonképpen
a kettő pontosan ugyanaz az egyenes. Így aztán megkülönböztetjük
ezt a két esetet: ezt itt függetlennek nevezzük, ezt pedig függőnek. Tehát a független:
mindkét egyenes a saját útját járja, nem függnek egymástól. A kettő nem ugyanaz az egyenes, egy helyen fogják
metszeni egymást. Függő: a kettő pontosan
ugyanaz az egyenes, minden pont, ami rajta van
az egyik egyenesen, rajta van a másikon is. Minden pont, ami kielégíti
az egyik egyenletet, ki fogja elégíteni a másikat is. Ezek alapján nézzük, hogy ez az
elsőfokú egyenletrendszer függő vagy független. A kérdés alapján feltételezzük, hogy konzisztens lesz, vagy egy helyen metszik egymást, vagy végtelen sok
közös pontjuk lesz. A legegyszerűbb,
ha úgy csináljuk... – ez a második egyenlet, ez már meredekség-tengelymetszet
alakú, tudjuk, hogy a meredekség -2,
az y tengelymetszet 8. Hozzuk az első egyenletet is meredekség-tengelymetszet
alakra, és nézzük meg,
hogy különbözők-e a meredekségek és a
tengelymetszetek, vagy esetleg ugyanaz
az egyenes a kettő. Tehát 4x + 2y = 16. Kivonhatunk 4x-et
mindkét oldalból. El szeretnénk különíteni
az y-t a bal oldalon, tehát vonjunk ki 4x-et
mindkét oldalból. A bal oldalon csak 2y maradt, a jobb oldalon pedig
-4x + 16 van. Csak azért írtam a -4x-et a 16 elé, hogy a megszokott meredekség-tengelymetszet
alakban legyen. És most az egyenlet mindkét
oldalát eloszthatjuk 2-vel, ezzel el tudjuk különíteni
az y-t a bal oldalon. Mindkét oldalt elosztjuk 2-vel. Az maradt, hogy y egyenlő...
-4 osztva 2-vel az -2x, plusz 16 per 2, az plusz 8. Csak annyit csináltam, hogy algebrai átalakításokat végeztem
ezen a felső egyenleten. És miután megcsináltam ezt,
miután kifejeztem y-t, ezt kaptam, ami pontosan ugyanaz,
mint a második egyenlet. Ugyanannyi a meredekség,
-2, -2, és pontosan ugyanannyi
az y tengelymetszet, 8 és 8. Ha ábrázolnám ezeket
az egyenleteket – ez az x tengely és ez az y tengely –, mindkettő 8-nál metszi az y tengelyt, és mindkettő meredeksége -2, tehát valahogy
– csak nagyjából rajzolom meg – valahogy így néznének ki. Ez lehet ennek az
egyenletnek a grafikonja, ennek az első egyenletnek, és a második egyenletnek
pontosan ugyanez lesz a képe. Pontosan ugyanannyi
az y tengelymetszete, és pontosan ugyanannyi
a meredeksége. Tehát világos, hogy ez a két
egyenes függő, végtelen sok közös
pontjuk van, mert a két egyenes ugyanaz.