Összetett trigonometria feladat: szögek összegének koszinusza

Azt mondják, hogy θ π és 2π között van, és koszinusz θ értéke mínusz négyzetgyök 3 per 2. És φ hegyesszög, feltehetjük, hogy pozitív hegyesszög. Mondhatjuk úgy, hogy hegyes pozitív szög, de úgy is, hogy pozitív hegyesszög. A φ koszinusza pedig 7/25. Határozd meg pontosan koszinusz φ plusz θ értékét! Ki tudjuk ezt számítani számológép nélkül? Arra biztatlak, hogy állítsd meg a videót, és gondolkodj el rajta! Nézzük meg együtt! Amikor azt látjuk, hogy „Határozd meg koszinusz φ plusz θ értékét”, akkor a 2 szög összegének koszinuszát keressük, ami számomra azt súgja, hogy az addíciós tételre lesz szükségünk ahhoz, hogy ezt kiszámoljuk. Főleg mivel tudjuk, hogy mennyi a θ koszinusza, illetve a φ koszinusza, és ezeket talán használhatjuk arra, hogy rájöjjünk, mennyi a θ és a φ szinusza. Írjuk csak fel a szögek összegének koszinuszára vonatkozó képletet! Ez azt mondja, hogy koszinusz φ plusz θ egyenlő ezen két szög koszinuszának a szorzatával, tehát a koszinusz φ-szer koszinusz θ, mínusz tehát ha ez pozitív volt, akkor ez negatív lesz, ha ez negatív volt, akkor ez pozitív lesz, mínusz a két szög szinuszának szorzata, tehát szinusz φ szorozva szinusz θ-val. Néhány értéket már ismerünk is. Tudjuk, mennyi koszinusz φ. Koszinusz φ 7/25, tehát ez 7/25. Tudjuk mennyi koszinusz θ. Koszinusz θ az mínusz négyzetgyök 3 per 2. Mínusz négyzetgyök 3 per 2, tehát itt vesszük ezeknek a szorzatát. Most pedig ki kell számítanunk, mennyi szinusz φ és szinusz θ. Szerencsére használhatjuk a pitagoraszi azonosságot. A pitagoraszi azonosság azt mondja, hogy szinusz θ négyzete plusz koszinusz θ négyzete egyenlő 1-gyel. Vagy mondhatjuk azt is, hogy szinusz θ négyzete egyenlő 1 mínusz koszinusz θ négyzete, vagy szinusz θ egyenlő plusz mínusz négyzetgyök alatt (1 mínusz koszinusz θ a négyzeten). Például ezzel ki tudjuk számolni szinusz θ-t. Vagyis szinusz θ egyenlő plusz vagy mínusz négyzetgyök alatt 1 mínusz koszinusz θ a négyzeten. Koszinusz θ az mínusz négyzetgyök 3 per 2. Ha négyzetre emeled, akkor pozitív lesz, és ha négyzetre emeled a négyzetgyök 3-at, akkor 3-at kapsz, ha négyzetre emeled a 2-t, akkor 4-et kapsz. A plusz vagy mínusz négyzetgyök (1-3/4) egyenlő plusz vagy mínusz négyzetgyök 1/4, ami egyenlő plusz vagy mínusz 1/2-del. Melyik lesz a kettő közül? A szinusz θ plusz vagy mínusz 1/2 lesz? Ahhoz, hogy ezt átgondoljuk, rajzoljunk ide egy egységkört! Ez az y tengely, ez az x tengely. Ide rajzolok egy kis egységkört, olyan szépre, amennyire tudom. Itt van egy kicsi egységkör. Mit árulnak el nekünk a θ-ról? Azt tudjuk, hogy a θ π és 2π között van, tehát π és 2π között van. Tehát a szögünk, a szög szára a harmadik vagy a negyedik negyedben lesz. Szóval szinusz θ vagy plusz 1/2 vagy mínusz 1/2. Ha plusz 1/2, akkor az azt jelenti, hogy valamelyik ezen szögek közül, ha mínusz 1/2, akkor valamelyik szög ezek közül. Ez azt mondja, hogy a harmadik vagy negyedik negyedben vagyunk. Nem tudjuk, hogy a θ ez a szög vagy ez a szög itt, de tudjuk, hogy a harmadik vagy negyedik negyedben van, vagyis a szinusza nem pozitív. Tehát erről a θ-ról tudjuk, hogy szinusz θ mínusz 1/2 lesz, mínusz 1/2, tehát ez itt mínusz 1/2. Most térjünk át a szinusz φ-re! Szinusz φ egyenlő plusz vagy mínusz négyzetgyök alatt 1 mínusz koszinusz φ a négyzeten. Koszinusz φ az 7/25, tehát ez itt 49 osztva 625-tel. Nézzük, hogy ez mi lesz itt? Hadd csináljam itt! 625 per 625 mínusz 49 per 625, itt csak átírtam az 1-et úgy, hogy 625 per 625. A 625 mínusz 50 az 575, ez pedig eggyel nagyobb lesz, ez itt akkor 576 per 625, tehát ez egyenlő plusz vagy mínusz négyzetgyök 576 per 625. Nézzük! Azt tudjuk, hogy mennyi 625 négyzetgyöke, az 25. 576-é a 24? 24-szer 24, igen, az 576. Tehát ez egyenlő plusz vagy mínusz 24/25. Tehát a szinusz φ 24/25. Emlékezz vissza, a szög szinusza annak a pontnak az y koordinátája, ahol a szög szára metszi az egységkört. Tehát ezen szögek valamelyikét keressük, ez lesz valamelyik, ha a szinusz pozitív, akkor vagy ez a szög lesz, vagy ez. Vagy megint a lenti szögszárakat nézzük itt. Tudjuk, hogy a φ pozitív hegyesszög, tehát tudjuk, hogy tulajdonképpen erről az esetről van szó itt fent. Szinusz φ plusz 24/25 lesz, tehát ez 24/25. Most már csak össze kell szoroznunk ezeket a számokat, majd elvégezni a kivonást. Ez pedig... hadd írjam le... Tehát ez egyenlő lesz mínusz 7 négyzetgyök 3 per 25-ször 2, azaz 50, per 50 mínusz, itt pedig lesz egy mínusz előjelünk, tehát ez itt plusz, negatív szorozva negatívval az pozitív. És akkor 24 per 25 szorozva 1/2-del, az 12 per 25, tehát plusz 12 per 25. De valójában írjunk csak ide 50-et, mivel itt is 50 van, tehát ez plusz 24 per 50 lesz. És így ez pedig egyenlő 24 mínusz 7-szer négyzetgyök 3 per 50. És végeztünk!